1. Notazione base
Campione i.i.d.: X₁, ..., Xₙ indipendenti e identicamente distribuite.
Media campionaria: X̄ = (1/n) Σ Xᵢ
Somma campionaria: Sₙ = Σ Xᵢ
Varianza campionaria corretta: S² = (1/(n-1)) Σ (Xᵢ - X̄)²
Frequenza relativa di successi: p̂ = X̄ = (1/n) Σ Xᵢ, quando Xᵢ ∈ {0,1}
Nei compiti, controlla sempre:
parametro, spazio parametrico, supporto della distribuzione, indipendenza del campione,
funzione di probabilità o densità, e se il campionamento è con o senza reimmissione.
2. Momenti e proprietà utili
Valore atteso
E[aX + b] = aE[X] + b
E[X + Y] = E[X] + E[Y]
Se X,Y indipendenti: E[XY] = E[X]E[Y]
Varianza
Var(X) = E[X²] - (E[X])²
Var(aX + b) = a² Var(X)
Se X,Y indipendenti: Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)
Covarianza
Cov(X,Y) = E[(X-E[X])(Y-E[Y])] = E[XY] - E[X]E[Y]
Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)
Media campionaria
E[X̄] = μ
Var(X̄) = σ² / n
E[X̄²] = Var(X̄) + (E[X̄])² = σ²/n + μ²
Formula che ricorre spesso:
E[X²] = Var(X) + (E[X])².
3. Distribuzioni discrete
| Distribuzione | Supporto | Funzione di probabilità | Media | Varianza |
|---|---|---|---|---|
| Bernoulli(θ) | x = 0,1 ; θ ∈ [0,1] | P(X=x)=θˣ(1-θ)¹⁻ˣ | θ | θ(1-θ) |
| Binomiale(n, θ) | x = 0,1,...,n | P(X=k)=C(n,k) θᵏ (1-θ)ⁿ⁻ᵏ | nθ | nθ(1-θ) |
| Geometrica(θ) | x = 1,2,... | P(X=x)=(1-θ)ˣ⁻¹ θ | 1/θ | (1-θ)/θ² |
| Poisson(θ) | x = 0,1,2,... ; θ > 0 | P(X=k)=e-θ θᵏ / k! | θ | θ |
| Uniforme discreta su {a,...,b} | x = a,...,b | P(X=x)=1 / (b-a+1) | (a+b)/2 | ((m²-1)/12), con m=b-a+1 |
Formule molto usate
Se X₁,...,Xₙ indipendenti e Xᵢ ~ Poisson(θᵢ), allora Σ Xᵢ ~ Poisson(Σ θᵢ)
Se X ~ Bin(n,θ), allora p̂ = X/n ha media θ e varianza θ(1-θ)/n
Se Xᵢ ~ Bernoulli(θ), allora Σ Xᵢ ~ Bin(n,θ)
Per Poisson la formula corretta è
P(X=k)=e-θ θᵏ/k!.
Se trovi eθ, di solito è un refuso.
4. Distribuzioni continue
| Distribuzione | Supporto | Densità | Media | Varianza |
|---|---|---|---|---|
| Uniforme(a,b) | a < x < b | f(x)=1/(b-a) | (a+b)/2 | (b-a)²/12 |
| Esponenziale(λ) | x > 0, λ > 0 | f(x)=λe-λx | 1/λ | 1/λ² |
| Normale(μ,σ²) | x ∈ ℝ, σ² > 0 | f(x)= 1/(σ√(2π)) · exp(-(x-μ)²/(2σ²)) | μ | σ² |
| Gamma(α,λ) | x > 0 | f(x)= λαxα-1e-λx/Γ(α) | α/λ | α/λ² |
| Chi-quadro(ν) | x > 0 | caso particolare Gamma | ν | 2ν |
Normale standard
Z ~ N(0,1)
Se X ~ N(μ,σ²), allora Z = (X-μ)/σ ~ N(0,1)
Percentili normali usati spesso
z0.90 ≈ 1.282, z0.95 ≈ 1.645, z0.975 ≈ 1.96, z0.995 ≈ 2.576
Per un intervallo centrale al 95% si usa quasi sempre
1.96.
5. Distribuzioni campionarie e statistiche notevoli
Media campionaria
Se X₁,...,Xₙ hanno media μ e varianza σ², allora E[X̄]=μ e Var(X̄)=σ²/n
Somma campionaria
Sₙ = Σ Xᵢ, E[Sₙ]=nμ, Var(Sₙ)=nσ²
Caso normale
Se X₁,...,Xₙ ~ N(μ,σ²), allora X̄ ~ N(μ,σ²/n)
Se X₁,...,Xₙ ~ N(μ,σ²), allora ((n-1)S²)/σ² ~ χ²(n-1)
T = (X̄-μ)/(S/√n) ~ t(n-1)
Proporzione campionaria
Se Xᵢ ~ Ber(p), allora p̂ = X̄ = (1/n)ΣXᵢ
E[p̂]=p, Var(p̂)=p(1-p)/n
Ordine statistico e mediana
Per n dispari, la mediana campionaria è l’osservazione centrale una volta ordinato il campione
Nei problemi su distribuzioni campionarie di mediana o media con popolazioni piccole e finite,
spesso bisogna elencare tutti i campioni possibili.
6. Verosimiglianza
Definizione
L(θ ; x₁,...,xₙ) = Π f(xᵢ | θ)
ℓ(θ) = log L(θ) = Σ log f(xᵢ | θ)
La verosimiglianza non è una probabilità di θ:
è una funzione del parametro θ, con i dati fissati.
Procedura standard
- Scrivi la funzione di probabilità o densità di una singola osservazione.
- Fai il prodotto per i = 1,...,n.
- Semplifica raccogliendo i termini che dipendono da θ.
- Se utile, passa alla log-verosimiglianza.
- Deriva, poni uguale a zero, controlla il massimo.
Esempi di log-verosimiglianza
Bernoulli
L(θ)= Π θˣⁱ(1-θ)¹⁻ˣⁱ = θ^(Σxᵢ) (1-θ)^(n-Σxᵢ)
L(θ)= Π θˣⁱ(1-θ)¹⁻ˣⁱ = θ^(Σxᵢ) (1-θ)^(n-Σxᵢ)
ℓ(θ)= (Σxᵢ)logθ + (n-Σxᵢ)log(1-θ)
Poisson
L(θ)= Π e-θ θˣⁱ / xᵢ! = e-nθ θ^(Σxᵢ) / Π xᵢ!
L(θ)= Π e-θ θˣⁱ / xᵢ! = e-nθ θ^(Σxᵢ) / Π xᵢ!
ℓ(θ)= -nθ + (Σxᵢ)logθ - Σlog(xᵢ!)
Esponenziale
L(λ)= Π λe-λxᵢ = λⁿ e-λΣxᵢ
L(λ)= Π λe-λxᵢ = λⁿ e-λΣxᵢ
ℓ(λ)= nlogλ - λΣxᵢ
Normale con σ² noto
ℓ(μ)= costante - (1/(2σ²)) Σ(xᵢ-μ)²
ℓ(μ)= costante - (1/(2σ²)) Σ(xᵢ-μ)²
Normale con μ noto
ℓ(σ²)= costante - (n/2)log(σ²) - (1/(2σ²)) Σ(xᵢ-μ)²
ℓ(σ²)= costante - (n/2)log(σ²) - (1/(2σ²)) Σ(xᵢ-μ)²
7. Stimatori di massima verosimiglianza
| Modello | Parametro | MLE |
|---|---|---|
| Bernoulli(θ) | θ | θ̂ = X̄ |
| Binomiale(m, θ) con m noto | θ | θ̂ = X̄ / m |
| Poisson(θ) | θ | θ̂ = X̄ |
| Esponenziale(λ) | λ | λ̂ = 1 / X̄ |
| Normale(μ, σ²) con σ² noto | μ | μ̂ = X̄ |
| Normale(μ, σ²) con μ noto | σ² | σ̂² = (1/n) Σ (xᵢ-μ)² |
| Normale(μ, σ²), entrambi ignoti | μ, σ² | μ̂ = X̄, σ̂² = (1/n) Σ (xᵢ-X̄)² |
| Uniforme(0, θ) | θ | θ̂ = max(X₁,...,Xₙ) |
Bias e MSE
Bias(T) = E[T] - θ
MSE(T) = Var(T) + (Bias(T))²
Consistenza
Tₙ è consistente per θ se Tₙ → θ in probabilità
In molti esercizi basta:
trovare E[T], trovare Var(T), poi usare
MSE(T)=Var(T)+Bias(T)².
8. Teorema del Limite Centrale
Se X₁,...,Xₙ sono i.i.d. con media μ e varianza σ² < ∞, allora
(X̄ - μ) / (σ/√n) ≈ N(0,1) per n grande
(X̄ - μ) / (σ/√n) ≈ N(0,1) per n grande
Equivalentemente:
X̄ ≈ N(μ, σ²/n)
X̄ ≈ N(μ, σ²/n)
E anche:
Sₙ = ΣXᵢ ≈ N(nμ, nσ²)
Sₙ = ΣXᵢ ≈ N(nμ, nσ²)
Casi tipici
Se Xᵢ ~ Bernoulli(p), allora p̂ = X̄ ≈ N(p, p(1-p)/n)
Se Xᵢ ~ Poisson(θ), allora Sₙ = ΣXᵢ ≈ N(nθ, nθ)
Attenzione:
per una Poisson la varianza è θ, non θ².
Quindi Var(Sₙ)=nθ, non nθ².
9. Intervalli e quantili
Intervallo centrale al 95% per una normale
P(-1.96 ≤ Z ≤ 1.96) ≈ 0.95
Per la media campionaria, σ noto
X̄ ± 1.96 · σ/√n
Per la proporzione campionaria, p noto
p ± 1.96 · √(p(1-p)/n)
Intervallo di confidenza per p
p̂ ± 1.96 · √( p̂(1-p̂)/n )
Intervallo di confidenza per μ con σ noto
X̄ ± z1-α/2 · σ/√n
Intervallo di confidenza per μ con σ ignoto e normalità
X̄ ± tn-1,1-α/2 · S/√n
Intervallo per σ² con campione normale
[ ((n-1)S²)/χ²1-α/2,n-1 , ((n-1)S²)/χ²α/2,n-1 ]
Se il testo dice:
"trovare l’intervallo che contiene la statistica nel 95% dei campioni",
allora spesso p o μ sono noti e l’oggetto casuale è X̄ oppure p̂.
Non è sempre un intervallo di confidenza per il parametro.
10. Test statistici essenziali
Schema generale
- Formula H₀ e H₁
- Costruisci la statistica test
- Trova regione critica o p-value
- Confronta con α
- Concludi
Test z per la media, σ noto
Z = (X̄ - μ₀)/(σ/√n)
Test t per la media, σ ignoto, normalità
T = (X̄ - μ₀)/(S/√n) ~ t(n-1) sotto H₀
Test per una proporzione
Z = (p̂ - p₀) / √(p₀(1-p₀)/n)
Test per la varianza normale
Q = ((n-1)S²)/σ₀² ~ χ²(n-1) sotto H₀
P-value
bilaterale: p-value = 2P(Z ≥ |z osservato|)
Bilaterale: dividi α in due code.
Unilaterale destra: metti tutto α a destra.
Unilaterale sinistra: metti tutto α a sinistra.
Unilaterale destra: metti tutto α a destra.
Unilaterale sinistra: metti tutto α a sinistra.
11. Esercizi frequenti e formule rapide
Somma di Bernoulli
Se Xᵢ ~ Ber(p), allora ΣXᵢ ~ Bin(n,p)
Somma di Poisson
Se Xᵢ ~ Pois(θ), allora ΣXᵢ ~ Pois(nθ)
Media di Bernoulli
p̂ = X̄, E[p̂]=p, Var(p̂)=p(1-p)/n
Media di Poisson
X̄ = Sₙ/n, E[X̄]=θ, Var(X̄)=θ/n
Distribuzione esatta vs approssimata
Esatta: usa la distribuzione del modello
Approssimata: usa il TLC o la normale
Formula utile per stimatori lineari
Se T = aX̄ + b, allora E[T]=aμ+b e Var(T)=a²σ²/n
MSE di T = aX̄
Bias(T)=aμ-μ=(a-1)μ
MSE(T)=a²σ²/n + ((a-1)μ)²
Distribuzioni finite: campionamento senza reimmissione
Numero di campioni non ordinati di ampiezza n da N elementi:
C(N,n)
Se tutti i campioni sono equiprobabili:
P(campione specifico)=1/C(N,n)
In questi esercizi spesso devi:
elencare tutti i campioni, calcolare la statistica su ciascuno,
raggruppare i valori uguali e costruire la distribuzione campionaria.
12. Checklist da compito
Quando ti chiedono la verosimiglianza
- Scrivi la legge di una singola osservazione.
- Moltiplica per tutte le osservazioni.
- Semplifica.
- Se serve, passa al logaritmo.
Quando ti chiedono il valore più plausibile del parametro
- Confronta i valori della verosimiglianza.
- Oppure trova il MLE.
- Controlla che il parametro stia nello spazio parametrico.
Quando ti chiedono MSE
- Trova E[T].
- Trova Bias(T)=E[T]-θ.
- Trova Var(T).
- Usa MSE(T)=Var(T)+Bias(T)².
Quando ti chiedono una distribuzione di somma o media
- Prima cerca la distribuzione esatta.
- Poi, se n è grande, aggiungi l’approssimazione normale.
Quando ti chiedono un intervallo al 95%
- Capisci se l’oggetto casuale è il parametro o la statistica.
- Usa 1.96 per il 95% centrale della normale.
- Ricorda: 2.5% a sinistra e 2.5% a destra.
Errori comuni:
confondere media con varianza, usare θ² al posto di θ nella Poisson,
dimenticare il dominio del parametro, usare n-1 invece di n nello stimatore MLE della varianza normale.
Mini formulario finale
E[X̄]=μ, Var(X̄)=σ²/n
E[Sₙ]=nμ, Var(Sₙ)=nσ²
MSE(T)=Var(T)+Bias(T)²
X̄ ≈ N(μ,σ²/n)
p̂ ≈ N(p,p(1-p)/n)
θ̂Bernoulli=X̄, θ̂Poisson=X̄, λ̂Exp=1/X̄